זיהוי ובקרה של מערכת עם השהייה בחוג סגור

S זיהוי ובקרה של מערכת עם השהייה בחוג סגור יונתן אבו מגישים: טל אלנשיא מנחה: מרינה אלתרמן חורף תשע"א 010 1

תוכן עניינים רשימת איורים... 3 תקציר... 5 6... ABSTRACT מבוא... 7 1. מודל מתמטי של המערכת... 9. זיהוי פרמטרי המנוע... 16 3. בניית הבקר למערכת ללא השהייה... 6 4. הכנסת השהייה לחוג ובחינת בקר סמית קלאסי על המערכת... 34 4... Modified Sith predictor.5 5.1 תכנון הבקר...4 5. מימוש מעשי עבור סכימת...47 סיכום ומסקנות... 55 נספחים... 51 נספח 1 לגראנז'יאן 51... נספח - בחינת הבקר בתנאים לא אופטימליים... 5 נספח 3 פונקצייה למימוש בלוק ע"י קירוב סכומים באמצעות מטלב... 54 נספח - 4 פרמטרים של המערכת...55 נספח 5 אי אמינות המערכת... 56 רשימת מקורות... 57

רשימת איורים איור 1.1 - סכמה של המערכת המוסטת...9 איור 1. סכמה של המערכת במנוחה...9 איור - 1.3 תרשים של מנוע זרם ישר...1 איור 1.4- מפת הקטבים והאפסים של המערכת עם הפרמטרים הנתונים...14 איור -.1 עקום בודה עפ"י מדידות במעבדה למול עקום בודה של המודל התיאורטי של המערכת עם הפרמטרים הנתונים...17 איור. - עקום בודה של המערכת שהתקבלה מחישוב אנליטי למול התוצאות במעבדה...18 איור -.3 עקום בודה של המערכת שהתקבלה מחישוב אנליטי בהסתמך על עקום הפאזה למול התוצאות שקיבלנו במעבדה... 19 איור -.4 היציאות של המערכת המשוערכת החדשה למול היציאות של המערכת במעבדה... 1 איור -.5 היציאות של המערכת עם הפרמטרים הנתונים למול היציאות של המערכת במעבדה. איור -.6 היציאות של המערכת עם הפרמטרים החדשים למול היציאות של המערכת במעבדה לכניסה 3... u( t) sin(5 t) איור.7- היציאות של המערכת עם הפרמטרים הנתונים למול היציאות של המערכת במעבדה לכניסה 4... u( t) sin(5 t) איור -.8 היציאות של המערכות השונות עבור כניסת מדרגה בגובה...5 1 6 s 5.5886 8... H 4.587 10 איור - 3.1 Locus Root של המערכת עם בקר s 4.44 s 5.5886 9... H 4.5409 איור - 3. Locus Root של המערכת עם בקר s 4.44 s 5.5886 9... H 4.5409 איור 3.3 התגובה למדרגה של המערכת עם בקר s 4.44 איור - 3.4 Locus Root של המערכת עם רשת פיגור ורשת תיקון איור 3.5 Locus Root של המערכת עם רשת פיגור ורשת תיקון )ללא כוונון הגבר(...30 )עם כוונון הגבר(...31 איור - 3.6 התגובה למדרגה של המערכת עם רשת התיקון ורשת הפיגור... 31 איור 3.7 התגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם רשת תיקון ורשת פיגור)תיאורטיים(...3 איור - 3.8 התגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם רשת תיקון ורשת פיגור לאחר כוונון....33 איור 4.1 מערכת עם בקר בחוג סגור... 35 איור 4. מערכת עם בקר בחוג סגור עם השהייה...35 איור 4.3 סכמת מערכת כוללת חזאי סמית'...36 איור 4.4 מערכת ללא השהייה למול מערכת עם השהייה מבוקרת באמצעות חזאי סמית'... 36 איור 4.5 בודה מערכת ללא השהייה... 37 איור - 4.6 דיאגרמת ניקוויסט של מערכת המנוע ללא השהייה... 38 איור 4.7 תגובת מערכת המנוע ללא השהייה עם בקר הגבר 1=k...38 איור 4.8 עקום בודה של מערכת המנוע עם השהייה....39 איור 4.9 דיאגרמת נייקוויסט של מערכת המנוע עם השהייה....39 3

איור - 4.10 דיאגרמת ניקוויסט של מערכת המנוע עם השהייה של 1. שניות... 40 איור 4.11 סכמת המערכת במעבדה עם חזאי סמית'....40 איור 4.1 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם חזאי סמית' קלאסי....41 איור 5.1 סכמת המערכת כוללת 4...odified sith predictor איור 5. תגובה למדרגה של מערכת המעבדה עם odified sith predictor ובקר 1=k....44 איור 5.3 סכמת בקרה סופית...45 איור 5.4 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת הגבר חיצונית... 45 איור 5.5 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת פיגור חיצונית... 46 איור 5.6 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת הגבר חיצונית)יחס אפס-קוטב קטן יותר(....46 איור 5.7 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת פיגור חיצונית - סופי....47 איור 5.8 בלוק ממומש בסכומים... 48 איור 5.9 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה כאשר בלוק ממומש כסכומים....49 איור 6.1 תגובת המערכת לרעש "רוח"....5 איור - 6. תגובת הבקר להפרעות הלם....5 איור 6.3 תגובת הבקר לתנאי התחלה שונים מאפס....53 4

תקציר השהייה במערכת כלשהיא מוגדרת להיות התזוזה)בציר הזמן( של אות המוצא ביחס לאות הכניסה-כלומר הזמן שבו מושהה אות הכניסה במערכת. מערכות בקרה רבות סובלות מהשהייה בין אות הכניסה לאות המוצא. השהייה זו מקשה מאוד על בקרת המערכת ובדרך כלל פוגעת בביצועיה. פגיעה זו בולטת יותר במערכות שאינן יציבות בחוג פתוח ומחריפה ככל שהמודל המתמטי של המערכת פחות מדויק. במסמך זה נתאר את הפתרון המוצע על ידינו לבעיית ההשהיה במערכת שאינה יציבה בחוג פתוח. הפתרון שלנו לבעיה זו כולל שלושה שלבים עיקריים: 1. מידול מתמטי של המערכת.. זיהוי פרמטרי המערכת. 3. תכנון בקר הכולל חזאי מסוג.odified sith predictor במסגרת פרויקט זה תכננו בקר למערכת של מנוע servo שאליו מחובר, בעזרת שני קפיצים, מוט מתכת. הבקר שתוכנן יצב את המערכת)הלא יציבה( למרות ההשהיה בחוג הסגור והשיג ביצועים טובים מאוד של זמן התייצבות קצר, שגיאת מצב מתמיד אפסית וחסינות טובה לרעשים מסוגים שונים. 5

ABSTRACT Syste delay is defined as the tie shift of the output signal with respect to the input signal, i.e. the tie interval during which the input signal stays in the syste. Many control systes suffer fro the delay between the input and output signals. The delay akes it very hard to control the syste and usually ipairs its perforance. This effect is ore pronounced in unstable open loop systes and intensifies as the atheatical odel of the syste becoes less accurate. This docuent describes our solution to the proble of delay in unstable open loop systes. The solution we propose has three ain stages: (1) Matheatical odeling of the syste. () Syste paraeters identification. (3) Designing a controller including a Modified Sith Predictor. In this project we designed a controller to a servo otor with a etal ar joined to it by two springs. The designed controller stabilized the unstable syste despite the delay in the closed loop and achieved very good perforance with respect to short stabilization tie, negligible deviation fro steady state and robustness against various kinds of noise. 6

מבוא תופעת ההשהיה במערכות בקרה בחוג סגור הינה תופעה מורכבת ונפוצה בתעשיות רבות. אחת הבעיות העיקריות שגורמת ההשהיה הינה העובדה שהיא עלולה להוציא מערכת מיציבות או לפגוע בביצועי המערכת. כדי להמחיש את הבעיה שיכולה להיגרם ע"י השהייה נביא דוגמה מחיי היום יום המוכרת לכולנו: נניח שאנו מעוניינים לפתוח תוכנית כלשהי במחשב ומאיזה שהיא סיבה התוכנית לא נפתחת מיד)כלומר יש השהייה בין הרגע שבו הכנסנו את הפקודה למחשב לרגע שהוא מגיב אליה(. במקרה זה,אם אנו חסרי סבלנות,מתרחש התרחיש הבא: אנו חושבים שפקודתנו לא התקבלה ולכן לוחצים שוב על המקלדת מספר פעמים. לאחר כמה רגעים נפתחים בזה אחר זה מספר חלונות)כמספר הלחיצות( שבכל אחד מהן רצה התוכנית. בשל כך אנו ממהרים לסגור את החלונות המיותרים-אך גם כאן יש השהייה שעלולה לגרום לנו ללחיצה מיותרת שתסגור את החלון הרלוונטי ואז נצטרך לפתוח את התוכנית מחדש וחוזר חלילה. אמנם אנו פועלים לפי משוב שלילי )אנו לוחצים על הכפתור ההפוך לשגיאה שמתקבלת בין הפקודה שהכנסנו למה שמוצג במסך( אך בגלל ההשהיה נוצר כאן, למעשה, משוב חיובי העלול לגרום לחוסר יציבות. בשנת 1957 הציג Otto.J.M Sith סכמת בקרה עבור מערכות SISO אשר נועדה לשפר את הבקרה של מערכות עם השהייה. סכמה זו ידועה בשם "חזאי סמית" והיא מתאימה למצב אידיאלי בו מודל המערכת ידוע בדיוק של 100%. מאז נעשו עבודות רבות במטרה לממש בקר, המבוסס על חזאי סמית', אשר יבקר בצורה מיטבית מערכות פיזיקליות - כלומר כאלו שהמודל המתמטי שלהן אינו מתאים ב 100% למערכת. במאמרם Delays",)]1[("Control Issues in Systes With Loop הציעו פרופסור פלמור ופרופסור מירקין שיטה לבניית בקר, המבוסס על חזאי סמית' וידוע כ- Modified Sith,predictor שאמור לתת פתרון לבעיית ההשהיה, הן במערכות יציבות והן במערכות לא יציבות. בעבודת המגיסטר שלו] [, מימש רומן גודין את הרעיונות שהוצעו ב] 1 [ על מערכת של מטוטלת הפוכה עם השהייה. מטרת הפרויקט הינה תכנון בקר, המבוסס על בקר סמית', שייתן מענה לבעיות הנוצרות כתוצאה מההשהיה ויבקר מערכת לא יציבה תוך עמידה בדרישות ביצועים מחמירות. המערכת שאותה נבקר הינה מוט שמחובר בחיבור גמיש למנוע servo כמתואר בתמונה ]1.1[ ומדמה צריח של טנק. שלבי הפרויקט : 1. מידול מתמטי של המערכת ולינאריזציה של המודל.. מציאת פרמטרי המודל. 3. בקרת המערכת ללא השהייה. 4. הכנסת השהייה לחוג ובחינת בקר סמית' קלאסי על המערכת..Modified Sith predictor.5 7

תאור המערכת מערכת (SRV-0 ( Rotary Servo Plant - מורכבת ממנוע DC המחובר לגלגלי שיניים, המניעים מוט עליו מורכב עומס חיצוני. זווית הרוטור,, נמדדת בעזרת פוטנציומטר ומיוצגת כמתח בתחום 5V )ערכי מתח אלה מתורגמים לערכים דיגיטאליים ע"י ממיר אנאלוגי/דיגיטאלי ולאחר מכן מתורגמים במחשב למעלות ע"י תוכנה(. בעל יציאות. 1V קצוות הפוטנציומטר מחוברים לספק כוח יחידת )Rotary Flexible Joint( ROTFLEX מורכבת מזרוע ומתושבת אלומיניום, המחוברים ביניהם ע"י שני קפיצים זהים היוצרים את החיבור הגמיש. נקודות על גבי הזרוע והתושבת וע"י כך להשפיע על גמישות החיבור. פוטנציומטר המותקן על גבי התושבת מודד את זווית סטיית הזרוע את הקפיצים ניתן לעגון בכמה. יחידת ה SRV-0 תמונה 1.1 -מערכת החיבור הגמיש לספק וכו'( ספק כוח אוניברסלי - חיבורים עיקריים: - Fro analog sensors חיבור בין חיישנים האנאלוגיים )פוטנציומטר, טכומטר הכוח. - To A/D העברת המידע של החיישנים האנאלוגים מהספק לכרטיס הבקרה. מחבר בין המגבר ליחידת ה.SRV-0 - To load כרטיס קבלת נתונים PCI-604E של חברת National Instruents המותקן על מחשב ספרתי. העבודה מתבצעת בסביבת.Siulink/Matlab 8

1. מודל מתמטי של המערכת באיור 1.1 ו 1. מוצגת סכמה של המערכת כאשר הזרוע במנוחה וכאשר היא מוסטת)בהתאמה( ממבט על עם הפרמטרים שאיתם נעבוד בהמשך: M L x F1 F L L y 1y R L 1x איור - 1.1 סכמה של המערכת המוסטת איור 1. סכמה של המערכת במנוחה נסמן: R המרחק בין נקודת החיבור של הזרוע לקפיצים לציר הסיבוב. r המרחק האנכי בין נקודת החיבור של הקפיצים לגוף המערכת לזרוע. d המרחק בין הישר העובר בנקודת חיבור הקפיצים לגוף המערכת ומקביל למוט לבין המוט... -זוית הסטייה של המוט ממצב מנוחה. - זוית הסטייה של גוף המערכת ממצב המנוחה. L1 -האורך של קפיץ 1 כתוצאה מסטייה של המוט בזוית L -האורך של קפיץ כתוצאה מסטייה של המוט בזוית [1.1] Joint מתוך איור 1.1 נקבל כי: L L L L L L 1x 1y x y 1 r R sin R cos d r R sin R cos d L 1x L x L L 1y y הכוחות הפועלים על הקפיצים: F K(L F 1 1 K(L L) Fr L) Fr 9

כאשר Fr הוא כוח ההחזר הפועל על כל קפיץ, L הוא אורכם של הקפיצים במנוחה ו K מקדם הקשיחות שלהם. מתוך יחסי דימיון פשוטים נקבל את רכיבי הכוחות בכל קוארדינטה: F y, F 1y באותו הכיוון. לכן [1.] F F 1x 1y L F1 L F 1 L L 1x 1 1y 1, F,F x y F F L L F x מנוגדים בכיוונם בעוד ש, F 1x ניתן לראות כי F [1.3] F כוחות אלה שואפים להחזיר את הזרוע למצבה במנוחה. המומנט הנוצר שווה למכפלה הווקטורית [1.4] M M x y M M R F R F x x y M R cos(f F x y F F x y L L x y F 1x F 1y של הרדיוס R בכל כוח: RFx sin( ) RFx cos RF sin( ) RF sin y y x 1x y ) R sin (F y F 1y ). M מכיוון שמומנט K Stiff נמדל את החיבור הגמיש כקפיץ פשוט המקיים את המשוואה ההחזר אינו לינארי, נוכל לקבל קירוב מסדר ראשון ל K Stiff ע"י גזירת המומנט לפי וביצוע לינאריזציה סביב 0=. הקשיחות המתקבלת נתנת ע"י: R 3/ [1.5] KStiff (Fr(Dd Rr ) K(D d DLd Rr L)) 3/ D. D r ( R d) כאשר 11

המשוואות הדינמיות של המערכת נוכל לקבל את המשוואות הדינמיות ע"י שימוש בלגרנז'יאן ובמשוואות אוילר -לגרנז'. הלגרנז'יאן הינו פונקציה המתארת מערכת פיזיקלית )בדרך כלל חסרת חיכוך(, שבעזרתה ניתן לרשום את משוואות התנועה של המערכת. משוואות אלו נקראות משוואת אוילר-לגראנז', והן שקולות לחוק השני של ניוטון. יתרונו של הפורמליזם הלגראנז'יאני בכך שהוא מאפשר גזירה פשוטה יותר של משוואות התנועה. המהירויות. )להסבר נוסף ראה נספח 1( הלגראנז'יאן הוא פונקציה של הזמן, של קואורדינאטות על מנת להשתמש בלגראנז'יאן נמצא את האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית של המערכת. מוכללות ושל אנרגיה קינטית )T( מתקבלת מסיבוב המנוע ( זווית ) θ והזרוע ( זווית )α+θ 1 1 [1.6] T Jhub Jload ( ) אנרגיה פוטנציאלית )V( - האנרגיה האגורה בקפיץ 1 [1.7] V K Stiff הלגרנז'יאן )נספח 1(: 1 1 1 [1.8] L T V Jhub Jload ( ) KStiff הקוארדינטות שלנו הן θ ו α, לכן ישנן שתי משוואות: נמצא את הקשר ביניהם מתוך המודל d L L 0 dt [1.9] d L L M dt כאשר M הוא מומנט הרוטור נקבל Jload Jload KStiff 0 [1.10] ( J hub Jload ) Jload M מכיוון שכניסת המערכת שלנו היא המתח ולא המומנט, החשמלי של המנוע. 11

מנוע זרם ישר איור - 1.3 תרשים של מנוע זרם ישר בתרשים לעיל מתואר מעגל חשמלי אקוויולנטי של מנוע זרם ישר. כאשר מופעל מתח על הדקי i המנוע נוצר זרם בעוגן. זרם זה יחסי למומנט שהמנוע מייצר ונתון ע"י: [1.11] Ki מתוך חוק קירכהוף על המעגל, הכא"מ המוחזר, נקבל שמתח הכניסה שווה בקירוב למתח הנופל על הנגד ועוד הנוצר כתוצאה מסיבוב של הסליל בשדה המגנטי. כפונקציה לינארית של מהירות סיבוב ציר המנוע: את הכא"מ ניתן לקרב [1.1]. L R ( ) ( ) ( ) di () t V t Ri t E t L Ri K dt כאשר השוויון האחרון נובע מכך שעפ"י נתוני המערכת את המומנט הכולל ומהירות הרוטור נקבל מהקשר: Ki ]1.13[ K g הגדלים ו מחושבים לפני גלגלי השיניים ולכן נקבל : KKg M Kg KKgi ( V K ) R ]1.14[ K K K K K K g g g ( V KKg) u R R R 1

K הוא K g הוא היחס בין מספר השיניים בגלגל השיניים של המנוע לבין זה של העומס ו כאשר קבוע מומנט הסיבוב של המנוע. מהצבת הקשר במשוואות [1.10]: Jload Jload KStiff 0 [1.15] KKg K Kg ( Jhub Jload ) Jload V R R K J Stiff load [1.16] KKg K Kg Jload u R ( J J ) R ( J J ) J J hub load hub load hub load K Kg KKg ( Jhub Jload ) KStiff u R J R J J J hub hub load hub K K K K K J R J R J Stiff g g hub hub hub [1.17] מהשוואה וחילוץ נקבל: u [1.19] [1.18] משוואות המצב: 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 KStiff K K g KK g [1.0] 0 0 u Jhub R Jhub R Jhub KStiff ( Jhub Jload ) K K K g K g 0 0 J RJ hubjload R J hub hub A ערכיהם של הפרמטרים השונים )כגון אינרציות המנוע והזרוע, כוח ההחזר של הקפיצים, קשיחותם והמומנט( נתונים ב USER MANUAL של QUANSER )מצורף בנספח 4(. )בהמשך יתבצע תהליך של זיהוי חלק מהפרמטרים הנ"ל(. נקודת העבודה של המערכת במהלך הניסויים היא עבור R מינימאלי ו d מקסימלי. B 13

Iaginary Axis [1.1] בהצבת הנתונים: 0 0 1 0 0 0 0 1 A 0 1379.3 5.8 0 0 1870. 5.8 0 0 0 B= 98.33 98.33 C 1 1 0 0 כאשר היציאה היא α+θ יציבות נרשום את פונקצית התמסורת של המערכת, [1.] y C [1 1 0 0] 4880 4880 5.8 1870 590 ( 1.68)( 31.1 1196) H C 1 ( SI A ) B S 4 S 3 S S s s s s Pole-Zero Map 40 [1.3] להלן מפת הקטבים והאפסים של המערכת: 30 0 10 0-10 -0-30 -40-5 -0-15 -10-5 0 5 Real Axis איור 1.4- מפת הקטבים והאפסים של המערכת עם הפרמטרים הנתונים 14

כפי שניתן לראות ממפת הקטבים-אפסים ישנם שלושה קטבים בחצי השמאלי של המישור וקוטב נוסף בראשית שמוציא את המערכת מיציבות בחוג הפתוח. 15

. זיהוי פרמטרי המנוע בחלק זה נשערך את הפרמטרים של מתוארות על ידי: המנוע ללא העומס. לכן כעת משוואות [1.6] ו [1.10] 1 T J J hub hub M K K K K M u R R g g J hub K K K K u R R g g 0 1 0 K K Kg K g u 0 RJ RJ hub hub מכאן פונקציית התמסורת של המנוע ללא העומס : H K K g RJ s s RJ hub K Kg hub 1 98 3 ss ( 5.8) בהצבת הפרמטרים הנתונים נקבל את התמסורת הבאה: [.1] השיטה בכניסה)] 7 [(. רקע תיאורטי: באמצעותה נמצא את פרמטרי המנוע היא שימוש בתגובת אנו מעוניינים לשערך את פרמטרי המערכת ע"י בחינת התגובה בתדר. המערכת נבדוק מהו אות המוצא במערכת כאשר בכניסתה מוכנס אות סינוסואידלי. באמפליטודה A בתדירות ועם 0 פאזה התחלתית לאות הרמוני אות הכניסה הנו : 0 x( t) Acos( t ) 0 0 התמרת פורייה של אות הכניסה היא: 0 j 0 0 0 e התמרת פורייה של אות המוצא היא : X( ) ) Y( X ( H( Y( H( ) ) e A H( ) ) e j0 H ( 0 ) j0 H ( 0 ) 0 0 0 0 נבצע התמרת פורייה הפוכה לאות הנ"ל ונקבל: 16

1 j0 H ( 0 ) j 1 0t j0 H ( 0 ) j0t y( t) A H( 0) e e A H( 0) e e A H( ) cos t H( ) 0 0 0 0 ביצוע תהליך זה עבור מספר רב של תדרים יניב את האמפליטודה H ( 0) והפאזה H( 0 ) של תגובת התדר של המערכת בתדרים אלו ויאפשר שרטוט של דיאגרמת בודה מתוכם. מדיאגרמת בודה נקבל בקירוב את תגובת התדר של המערכת. של בפועל, נמדדו יציאות המנוע עבור כניסות סינוסואידליות בכ- 50 תדירויות שונות בטווח ערכים H ( 0) rad. 0.1 110 sec H( 0 והפאזה ) בעזרת המוצא שהתקבל בשיטה שתוארה לעיל. ובהזנחת תופעות מעבר חושבו האמפליטודה בשל חוסר האידיאליות של מערכת המנוע)חיכוך,רעשים...(, התקבלו בחלק מהמדידות תופעות מעבר הבאות לידי ביטוי במוצא בעל אופי של סינוס ה"רוכב" על עקום כלשהו עד להתייצבותו סביב אפס. התמודדות עם תופעות אלה התבצעה על ידי התאמת פולינום המתאר את הממוצע של יציאת המערכת והחסרת פולינום זה מהיציאה. טהור. לאחר תהליך זה מתקבל בקירוב טוב סינוס להלן עקום בודה של התוצאות שהתקבלו מן המדידות)באדום( למול עקום בודה שהתקבל עפ"י המודל התיאורטי)בכחול( ב ].1[: Bode diagra syste with given paraeters VS. lab easureents איור -.1 עקום בודה עפ"י מדידות במעבדה למול עקום בודה של המודל התיאורטי של המערכת עם הפרמטרים הנתונים נחשב את הפרמטרים של פונקציית התמסורת מהעקום שהתקבל באופן הבא: נמצא את מיקום הקוטב ע"י התוצאות מעקום בודה ע"י שימוש באמפליטודה כלומר נחפש היכן בקירוב השיפוע הוא.-40db/dec 17

Phase (deg) Magnitude (db) 0 0-0 החישוב מתבצע עפ"י: log easureents ( i) easureents ( i 1) slope 0 log frequency ( i) frequency ( i 1) או באמצעות מטלב: Slope=diff(0*log10(easureents))./diff(log10(freqs)) Pole_freq=find(slope>=-4 && slope<=-38,1, first ) KK ) ניתן RJ g hub K K. את ההגבר של התמסורת) RJ g hub התקבל.pole_freq= 57rad/sec כלומר 57 לקבל מהצבת ערך זה בתמסורת והשוואת הערך המוחלט לערך שנמדד בתדירות :1rad/sec בגרף =1.361 K ].[ מוצג עקום בודה של המערכת שנמצאו)בכחול( לעיל למול התוצאות שקיבלנו במעבדה)באדום(: שהתקבלה מחישוב אנליטי עם הפרמטרים Bode diagra syste with new paraeters VS. lab easureents Bode Diagra Real easureents Asiptotic bode Theoretical syste -40-60 -80-100 -90 Theoretical syste Real easurents -8.0431e-007*W 4 +0.000164646*W 3-0.004637*W -1.0388*W-89.81784647793-135 -180 10 0 10 1 Frequency (rad/sec) 10 10 3 איור -. עקום בודה של המערכת שהתקבלה מחישוב אנליטי למול התוצאות במעבדה עפ"י גרף ].[ ניתן לראות שפונקצית התמסורת שמצאנו נותנת עקומת בודה שכמעט זהה לבודה שקיבלנו מהמדידות מבחינת אמפליטודה. מהשערוך. אך מבחינת פאזה התוצאות שמדדנו שונות במקצת על כן, נחפש קירוב לקוטב ע"י שימוש במדידות הפאזה: לתמסורת יש קוטב בראשית לכן עקום הפאזה מתחיל מ) 90 -( מעלות. בשל הקוטב )היציב( הנוסף, עקום הפאזה יורד בעוד 90 מעלות כך שבקירוב שיפוע העקום בין דקדה לפני מיקום הקוטב לדקדה אחריו הוא בנקודה בה הפאזה שווה ל) 135 -( מעלות נמצא הקוטב. deg. 45 dec כלומר, 18

Phase (deg) Magnitude (db) נקרב את העקום העובר בין הנקודות שנמדדו ע"י פולינום מסדר רביעי )קו אדום בגרף ].[ (: y 7 4 3 8.0431 10 0.0001646 0.0046376 1.0388 89.817846 כעת נבדוק עבור איזה ערך של מתקבל. y 135 התוצאה שקיבלנו ע"י החישובים היא.46rad/sec הקודם הוא 6.5. וההגבר ע"י חישוב שהתקבל זהה לחישוב נציג את עקום בודה של המערכת שהתקבלה מחישוב אנליטי עם הפרמטרים שנמצאו)בכחול( לעיל בהסתמך על עקום הפאזה למול התוצאות שקיבלנו במעבדה)באדום( בגרף.3: 0 0 Bode Diagra Bode diagra syste with new paraeters VS. lab easureents Real easureents Asiptotic bode Theoretical syste -0-40 -60-80 -100-90 Theoretical syste Real easurents -8.0431e-007*W 4 +0.000164646*W 3-0.004637*W -1.0388*W-90.81784647793-135 -180 10 0 10 1 Frequency (rad/sec) 10 10 3 איור -.3 עקום בודה של המערכת שהתקבלה מחישוב אנליטי בהסתמך על עקום הפאזה למול התוצאות שקיבלנו במעבדה rad ניתן לראות שעקום בודה המתקבל עבור הקוטב ב דומה יותר לעקום המתקבל sec מהמדידות ולכן נעדיף להשתמש בקירוב זה. הפרמטרים שהתקבלו הם: K g RJ K hub KKg 46, 6.5 RJ hub H 6.5 ss ( 46) [.] 19

K K R J g h 0.0767 70.6 0.001 כאשר להלן הפרמטרים הנתונים: K g מכיוון ש R הוא נגד )נספח 4( שלא תלוי בשאר הוא יחס בין מספר השיניים בגלגלי השיניים ו K g קבועים. R ו- הפרמטרים נניח ש- K ו- נמצא את J hub החדשים מתוך המשוואות: K K R J g 0.736 6.5 6.5 R Jhub 0.0117 Jhub 0.0045 R J hub hub K K K K RJ 6.5 46 KK g 0.736 K 0.0105 RJ 46 g g hub hub K Kg RJ hub K Gs () 0.0105, J 0.0045 hub 30840 4 3 s 46.17s 1135s 670s אם כן פונקציית התמסורת החדשה של המערכת הכוללת היא: [.3] כעת נבדוק את היציאות של המערכת במעבדה בחוג הפתוח לכניסות סינוס שונות למול היציאות של המערכת התיאורטית החדשה לאותן כניסות. 1

Aplitude(rad) עבור כניסה t) : u( t) sin(10 נציג בגרף.4 את היציאות של המערכת המשוערכת החדשה] ].3 למול היציאות של המערכת במעבדה. כאשר בירוק מוצגת היציאה של המערכת במעבדה ובכחול מוצגת היציאה שחושבה אנליטית מתוך המודל של המערכת עם הפרמטרים החדשים שמצאנו: 0.45 new theoretical syste lab syste 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.15 0.1 0.05 0-0.05 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Tie(sec) איור -.4 היציאות של המערכת המשוערכת החדשה למול היציאות של המערכת במעבדה. ניתן לראות שלאחר תופעות המעבר האמפליטודה והפאזה של המערכת התיאורטית עם הפרמטרים החדשים ושל מערכת המעבדה כמעט זהות. כמו כן ההבדל בשניות הראשונות בין המערכות נובע מתופעות מעבר שלא מודלו במודל הלינארי. 1

Aplitude(rad) נציג בגרף.5 את היציאות של המערכת עם הפרמטרים הנתונים למול היציאות של המערכת במעבדה. כאשר בירוק מוצגת היציאה של המערכת במעבדה ובכחול מוצגת היציאה שחושבה אנליטית מתוך המודל של המערכת עם הפרמטרים הנתונים: 0.5 old theoretical syste lab syste 0.45 0.4 0.35 0.3 0.5 0. 0.15 0.1 0.05 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Tie(sec) איור -.5 היציאות של המערכת עם הפרמטרים הנתונים למול היציאות של המערכת במעבדה ניתן לראות כי המערכת עם ערכי הפרמטרים החדשים דומה בהרבה למערכת המעבדה מאשר המערכת עם ערכי הפרמטרים הנתונים על ידי היצרן.

Aplitude(rad) נבדוק גם עבור כניסה בעלת תדר גבוה יותר (t : )u (t sin(5 נציג בגרף.6 את היציאות של המערכת עם הפרמטרים החדשים למול היציאות של המערכת במעבדה בתדר הנ"ל. כאשר בירוק מוצגת היציאה של המערכת במעבדה ובכחול מוצגת היציאה שחושבה אנליטית מתוך המודל של המערכת עם הפרמטרים החדשים שמצאנו: 0. 0.15 w=5rad/sec new theoretical syste lab syste 0.1 0.05 0-0.05 0 5 10 15 0 5 30 35 40 Tie(sec) איור -.6 היציאות של המערכת עם הפרמטרים החדשים למול היציאות של המערכת במעבדה לכניסה t) u( t) sin(5 3

Aplitude(rad) נציג בגרף.7 את היציאות של המערכת עם הפרמטרים הנתונים למול היציאות של המערכת במעבדה. כאשר בכחול מוצגת היציאה של המערכת במעבדה ובירוק מוצגת היציאה שחושבה אנליטית מתוך המודל של המערכת עם הפרמטרים הנתונים: w=5rad/sec w=5rad/sec w=5rad/sec old theoretical syste old lab theoretical syste syste lab old syste theoretical syste lab syste 0. 0. 0. 0.15 0.15 0.15 0.1 0.1 0.1 0.05 0.05 0.05 0 0 0-0.05 0 5 10 15 0 5 30 35 40-0.05 0 5 10 15 0 5 30 35 40-0.05 Tie(sec) 0 5 10 15 0 5 30 35 40 איור.7- היציאות של המערכת עם הפרמטרים הנתונים למול היציאות של המערכת במעבדה לכניסה t) u( t) sin(5 שוב ניתן לראות כי המערכת עם ערכי הפרמטרים החדשים הפרמטרים הנתונים על ידי היצרן. טובה בהרבה מן המערכת עם ערכי בגרף.8 מוצגות היציאות של המערכות השונות עבור כניסת מדרגה של 1V: כאשר בכחול מוצגת היציאה שחושבה אנליטית מתוך המודל של המערכת עם הפרמטרים החדשים שמצאנו, באדום מוצגת היציאה שחושבה אנליטית מתוך המודל של המערכת עם הפרמטרים הנתונים ובירוק מערכת המעבדה. 4

Aplitude(rad) new theoretical syste lab syste old theoretical syste 1 0.8 0.6 0.4 0. 0 איור -.8 היציאות של המערכות השונות עבור כניסת מדרגה בגובה 1 בגרף זה רואים כי המערכת הישנה והחדשה מתנהגות בצורה דומה במצב הסופי ושונות מהמערכת במעבדה. מהגרף רואים כי המודל של המערכת עם הפרמטרים החדשים שמצאנו ממדל פחות טוב את המערכת האמיתית מאשר המודל עם הפרמטרים הישנים עבור כניסת מדרגה. דבר זה נובע כנראה מהעובדה שהפרמטר K )שהוא פרמטר המקשר את המתח למהירות הזויתית של המנוע: ) V הינו פרמטר שמושפע מאד מהחיכוך הוויסקוזי. K לכן עבור כניסת סינוס, שבה החיכוך הויסקוזי קטן מאוד, יתקבל ערך שונה של שיתקבל עבור כניסת מדרגה, בה החיכוך הויסקוזי מורגש יותר. מכיוון ש מזה K K שוערך לפי כניסות סינוס ובהזנחת תופעות מעבר התקבל הערך שמתאים יותר K לכניסות אלו)כלומר החיכוך הויסקוזי שווה לאפס( בעוד ש- הנתון מהיצרן חושב, כנראה, כך שהוא כולל את המרכיב של החיכוך הויסקוזי - מה שמסביר את הדמיון הרב יותר בין מערכת המעבדה למודל עם הפרמטרים החדשים עבור כניסות סינוסואידליות, בעוד שעבור כניסת מדרגה)בה החיכוך הויסקוזי בא לידי ביטוי( המודל עם הפרמטרים הישנים דומה יותר למערכת המעבדה. 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Tie(sec) 5

3. בניית הבקר למערכת ללא השהייה כשלב מקדים לבניית הבקר למערכת עם השהייה נבנה בקר אשר מבקר את המערכת ללא השהייה תוך עמידה בדרישות ביצועים מחמירות. מכיוון שהמערכת מדמה קנה של טנק השגיאה במצב המתמיד צריכה להיות אפסית וזמן ההתייצבות קטן ככל הניתן. משיחות שערכנו עם שני קציני שריון )בדרגת רס"ן( עולה שעל התותח להיות יציב תוך 1.5 שניות עבור כניסת מדרגה )כלומר הסטת הקנה לזווית של 180 1rad מעלות(. כמו כן נדרוש שהשגיאה במצב מתמיד תהיה קטנה מאחוז מאפליטודת הכניסה. )בחישובים התיאורטיים נדרוש שגיאה אפס אך מכיוון שהמערכת מעשית נגביל דרישה זו לאחוז מאפליטודת הכניסה(. לפי הדרישות הנ"ל נתכנן את הבקר הראשוני. נבנה בקר כך שהמערכת שתתקבל תהיה בעלת שני קטבים דומיננטיים. כלומר, קוטב מרוכב)והצמוד שלו( כך שערכם המוחלט קטן מזה של שאר הקטבים דבר אשר יגרום לכך שתגובת המערכת לכניסת מדרגה תושפע בעיקר ממיקום קטבים אלו. דבר זה נובע מכך שהקטבים שנמצאים שמאלה מהקטבים הדומיננטים הם ה"קטבים המהירים". כלומר, השפעתם על היציאה מורגשת במשך זמן קצר מאוד מרגע הכניסה ואילו הקטבים הדומיננטיים הם אלו המורגשים בטווח הארוך יותר. ראשית נמצא את הקטבים הדומיננטיים שמתקבלים מדרישות אלו בקירוב המערכת)המבוקרת( למערכת מסדר שני: נוסיף על דרישת זמן ההתייצבות דרישה להגבלת ה overshoot נדרוש.os=0.38 קירוב המערכת למערכת מסדר שני ייראה מהצורה הבאה: H() s s n 1 s 1 n ln(0.0) n t settling ln( os) ln( os) כש- ו- p 1, הקטבים הדומיננטיים הם הפתרונות של מערכת המשוואות הנ"ל: p1, -5.5886 18.1453i כדי שאלה באמת יהיו הקטבים הדומיננטיים נדרוש שהם יימצאו על הRootLocus של המערכת עם הבקר. לשם כך נדרוש. KGH ( p ) 1, KGH ( p ) 180 כאשר מ].3 [. 1 1 את הבקר נחשב משני תנאים אלה באופן הבא: s z הבקר יהיה מהצורה של רשת תיקון כלומר H k נבחר את z להיות s p () Gs הינה המערכת התיאורטית KGH ( p1 ואת p נבחר כך שיקיים את תנאי הזווית 180( ) ) על z Re{ p } 5.5886 1. מנת שענפי הlocus root יעברו בנקודה p 1 6

G( p1 ) -175.7633 H( p ) 4.3 1 1 s z 4.3, s p s p p1 z 4.3 p p 18.1453i 4.3-5.5886 18.1453i p 18.1453 90 arctan 4.3 5.5886 p 18.1453 5.5886 p tan(90 4.3) p 4.44 1 כלומר יש להוריד סה"כ 4.3 מעלות ולכן: 1 k 4.587 10 GH ( p ) 1 6 6 s 5.5886 H 4.587 10 s 4.44 כעת יש לבחור את סה"כ נקבל K כך שיקיים את תנאי המודול מלמעלה 7

Iag Axis להלן Root Locus של המערכת עם הבקר: 80 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 60 40 0 0-0 -40-60 -80-80 -60-40 -0 0 0 40 60 Real Axis H 6 s 5.5886 4.587 10 s 4.44 - Locus Root של המערכת עם בקר איור 3.1 H ניתן לראות שקיים קוטב סמוך לציר המדומה ולכן ננסה להרחיק אותו ע"י שינוי ההגבר ובכך לשפר את תגובת הבקר. הבקר שנקבל הוא: s 5.5886 4.5409 s 4.44 8

Aplitude(rad) Iag Axis ה- Locus Root שמתקבל הינו: 80 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 60 40 0 0-0 -40-60 H -80-80 -60-40 -0 0 0 40 60 Real Axis s 5.5886 4.5409 איור - 3. Locus Root של המערכת עם בקר s 4.44 התגובה התיאורטית מה- SISOTOOL היא: 1.4 1. 1 Syste: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak aplitude: 1.08 Overshoot (%): 7.6 At tie (sec): 0.505 Syste: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Tie (sec): 0.8 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. Tie(sec) s 5.5886 H 4.5409 איור 3.3 התגובה למדרגה של המערכת עם בקר s 4.44 כאשר ה - Tie=0.8sec Settling וה - Overshoot=0.076 ושגיאת המצב המתמיד היא אפס. 9

Iag Axis למרות שזה עומד בדרישות הביצועים שהגדרנו ננסה לשפר את הביצועים על ידי ביצוע איטרציה Gnew GH נוספת כשהפעם Overshoot=0.00005, Settling Tie=0.9sec Hnew () s 6 9.38410 (s+13.49) (s+14.56) כעת נדרוש: והבקר שהתקבל)באותה דרך כפי שקיבלנו את הבקר הראשון(: כאשר ה- Locus Root שמתקבל הינו: 80 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 60 40 0 0-0 -40-60 H new -80-100 -80-60 -40-0 0 0 40 60 Real Axis איור - 3.4 Locus Root של המערכת עם רשת פיגור ורשת תיקון )ללא כוונון הגבר( s 13.49 ( s) 0.555 s 14.56 הבקר שנקבל לאחר שינוי ההגבר בשל אותה סיבה שהסברנו קודם הוא: 31

Aplitude Iag Axis ה- Locus Root שמתקבל הינו: 80 Root Locus Editor for Open Loop 1 (OL1) 60 40 0 0-0 -40-60 -80-100 -80-60 -40-0 0 0 40 60 Real Axis איור 3.5 Locus Root של המערכת עם רשת פיגור ורשת תיקון )עם כוונון הגבר( התגובה התיאורטית מה- SISOTOOL היא: 1.4 Step Response 1. Syste: Closed Loop r to y I/O: r to y Peak aplitude: 1.0 Overshoot (%): 1.55 At tie (sec): 0.978 1 Syste: Closed Loop r to y I/O: r to y Settling Tie (sec): 0.646 0.8 0.6 0.4 0. 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Tie (sec) איור - 3.6 התגובה למדרגה של המערכת עם רשת התיקון ורשת הפיגור 31

Aplitude(rad) כאשר מתקבל כי ה - Tie=0.646sec Settling וה - Overshoot=0.015 ושגיאת המצב המתמיד היא אפס. הבקר הכולל שמתקבל הוא: ( s5.5886) ( s13.49) H( s).5 ( s 4.44) ( s 14.56) ננסה את הבקר הנ"ל על המערכת במעבדה, להלן התגובה למדרגה: 1 X: 1.75 Y: 0.9558 0.9 X: 0.636 Y: 0.934 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Tie(sec) איור 3.7 התגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם רשת תיקון ורשת פיגור)תיאורטיים( כפי שניתן לראות התוצאות התקבלות הן:,Settling Tie = 0.636sec שגיאת המצב המתמיד- 4.4 אחוז - לא עומד בדרישות שהגדרנו. מכיוון שהבקר נבנה עבור המודל התיאורטי יש לכוון את הפרמטרים שלו על מנת לקבל תוצאה אופטימלית עבור המערכת המעשית. ראשית נשנה במקצת את ההגבר. הבקר שהתקבל: ( s5.5886) ( s13.49) H 4.65 [3.1] ( s 4.44) ( s 14.56) 3

Aplitude(rad) ולהלן התגובה למדרגה: 1 X: 0.588 Y: 1.017 X: 1.731 Y: 0.9993 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 Tie(sec) איור - 3.8 התגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם רשת תיקון ורשת פיגור לאחר כוונון. מהתגובה נקבל את התוצאות: Settling Tie = 0.588sec שגיאה במצב מתמיד : 0.07 אחוז. אנו עומדים בדרישות שהגדרנו ע"י הבקר הנ"ל ולכן הבקר הנ"ל הוא הבקר הסופי עבור המערכת ללא השהייה. 33

4. הכנסת השהייה לחוג ובחינת בקר סמית קלאסי על המערכת בקר סמית רקע: השהיה בין הכניסה ליציאה במערכות היא תופעה מוכרת בתהליכים בתעשייה. נוכחות ההשהיה בחוג הבקרה עלולה לפגוע בביצועי המערכת ואף עלולה להוציאה מיציבות. עבור מערכת ללא השהיה עם פונקציית תמסורת רציונלית, וקטור המצב המתאר את המערכת הוא:.]4.1[ x( t) Ax( t) Bu( t) xt ( מתקבל ע"י: לכן הערך של ). ]4.[ t A A( v) ( ) ( ) ( ) t x t e x t e Bu v dv כלומר, הערך של וקטור המצב בכל זמן נתון t ניתן לחישוב באמצעות ידיעת המצב בזמן t [ tt, )הביטוי הראשון בצד הימני של השוויון ב] 4. [( וידיעת הכניסות ה"עתידיות" באינטרוול ] )הביטוי השני בצד הימני של השוויון ב] 4. [( בלבד. עבור מערכת עם השהייה של h שניות משוואה ]4.1[ הופכת ל:.]4.3[ x( t) Ax( t) Bu( t h) לכן לפי ]3[ וקטור המצב השלם בזמן t המתקבל הוא:.]4.4[ t A A( v) ( ) ( ) ( ) t x t e x t e Bu v h dv t t h A A( vh) A( vh) ( ) ( ) ( ) th t e x t e Bu v dv e Bu v dv ניתן לראות שהביטוי הראשון והשלישי זהים לביטוי עבור המערכת בלי ההשהיה] 4. [. הביטוי השני תלוי בחלון הזמן [t-h,t) ולכן ידיעת המצב בזמן t וידיעת הכניסות העתידיות כבר אינן מספיקות כדי לחשב את המצב בזמן t ובנוסף אליהן צריך לדעת את הכניסות בחלון הזמן.[t-h,t) לכן נובע מכך ש x(t) הוא כבר לא וקטור המצב של המערכת המושהית מכיוון שהוא לא מכיל. ut ( לכן xt ( עבור הכניסה ) מספיק מידע שבאמצעותו ניתן לחשב את וקטור המצב ) "וקטור המצב השלם" של המערכת )המושהית( הוא [ x( t), uh( t)]. h [,0] ) ( ) ( u עבור h כש- t u t מכאן ניתן להסיק שהשהייה מקשה מאוד על בקרת המערכת, שכן אין מספיק מידע שלפיו ניתן לבקר את המערכת ויש צורך לחזות/להעריך מידע זה. כפי שנכתב במבוא, בקר אשר אמור לתת פתרון לבעיית בקרת מערכת הכוללת השהיה הוצג ע"י סמית' בסכמה הידועה כ"חזאי סמית" ותואר ב] 5 [. נדגים את פעולת הבקר ואת אופן החישוב שלו: נניח בתור התחלה שיש מערכת G ללא השהייה שמבוקרת ע"י בקר C בחוג סגור כלהלן: 34

. איור 4.1 מערכת עם בקר בחוג סגור C( s) G( s) H() כאשר פונקציית התמסורת הינה s 1 C ( s ) G ( s ) לאחר הוספת השהייה של h שניות נקבל: איור 4. מ ערכת עם בקר בחוג סגור עם השהייה hs C( s) G( s) e H() s כעת פונקציית התמסורת הינה hs 1 C( s) G( s) e H( s) H( s) e hs התכן מבוסס על כך שנבחר בקר (s) כך שנקבל: המשמעות לכך היא שהתגובה בזמן של שתי המערכות הנ"ל זהה עד כדי השהיה של h שניות )נשים לב שבמקרה ש- 0=h הן יהיו זהות לחלוטין(. e hs C( s) G( s) C( s) G( s) e 1 C( s) G( s) 1 C( s) G( s) e hs hs כעת נדרוש : Cs () ונקבל: Cs () 1 hs C( s) G( s)(1 e ) 35

להלן סכמת המערכת שתתקבל )כלומר חזאי סמית'(: Cs () 1e sh איור 4.3 סכמת מערכת כוללת חזאי סמית' אינטואיטיבית, הסכמה הנ"ל אנלוגית לכך שבh שניות שעוברות בלי מידע חדש במוצא, המערכת מבוקרת ע"י הלולאה הפנימית שמכילה חזאי למוצא הנוכחי של המערכת. עבור מערכת יציבה בחוג פתוח ושהמודל המתמטי שלה תואם למודל המעשי ב 100 אחוז ראינו כי חזאי סמית קלאסי "מוציא" את ההשהיה מהמערכת ובכך מאפשר תכנון בקר למערכת תוך התעלמות מההשהיה.במצב זה ההשהיה מתבטאת בהסטת המוצא ביחס לכניסה בערך השווה להשהיה כפי שמתואר בגרף ]4.4[: איור 4.4 מערכת ללא השהייה למול מערכת עם השהייה מבוקרת באמצעות חזאי סמית' לעומת זאת באופן מעשי לא ניתן להגיע לדיוק של 100% במודל המערכת ולכן השהייה, אפילו קטנה מאוד, עלולה לגרום לבעיות רבות. נדגים זאת על מערכת המנוע )ב ].[( אשר כוללת אינטגרטור ואינה יצבה בחוג פתוח. נבדוק את יציבות המערכת ומזה נסיק מהי ההשהיה המקסימלית שניתן להכניס למערכת כך שתישאר עדיין יציבה בחוג סגור עם בקר הגבר 1=K. 36

Phase (deg) Magnitude (db) 6.5 6.5 P ( co ) 1 j 46 116 4 co co co co rad co 1.36 sec [4.34] P ( co ) 6.5 461.36 0 180 arctan 91.7 co jco 46 1.36 PM 88.3deg )P t (h שניות באה לידי ביטוי במישור הזמן כ- h מכיוון שהשהיה של מערכת כלשהי, P ב, s) L{ P( t h)} P( כלומר ההשהיה באה לידי ביטוי בהכפלת e sh במישור לפלס זה יתבטא כ- jh P ( j) e P ( j) h P ( ) h 0 1.541 h co h 1.133sec co co התמסורת ב e sh ולכן נקבל שהפאזה של המערכת עם ההשהיה היא: לכן נדרוש כלומר עבור השהיה הגדולה מ- 1.133sec המערכת תצא מיציבות. למרות זאת, מכיוון שהמודל לא מדויק במאה אחוז השהיה קטנה יותר יכולה להוציא את המערכת ה"אמיתית" מיציבות. לעומת זאת, עבור המערכת בחוג פתוח ללא השהייה נקבל כי ה- PhaseMargin=88.3deg ו- rad co כלומר בחוג סגור המערכת יציבה לכל כפי שמודגם בגרף ]4.5[ ובדיאגרמת 1.36 sec 0 Bode Diagra G = Inf db (at Inf rad/sec), P = 88.3 deg (at 1.36 rad/sec) ניקוויסט ב] 4.6 [: 0-0 -40-60 -80-100 -90-135 -180 10 0 10 1 10 10 3 Frequency (rad/sec) איור 4.5 בודה מערכת ללא השהייה 37

איור - 4.6 דיאגרמת ניקוויסט של מערכת המנוע ללא השהייה תגובה למדרגה של החוג הסגור עם בקר הגבר 1=k: איור 4.7 תגובת מערכת המנוע ללא השהייה עם בקר הגבר 1=k כעת נוסיף למערכת השהייה של 1.1349 שניות ונבחן את התוצאה המתקבלת : 38

Aplitude Phase (deg) Magnitude (db) 0 Bode Diagra G = -0.00065 db (at 1.36 rad/sec), P = 0.000365 deg (at 1.36 rad/sec) 0-0 -40-60 -80-100 0 x 104 -.304-4.608-6.91 10 0 10 1 10 10 3 Frequency (rad/sec) איור 4.8 עקום בודה של מערכת המנוע עם השהייה. להלן התגובה rad. sec 3 x 106 מהגרף ניתן לראות שהמערכת בחוג סגור יוצאת מיציבות מתדר למדרגה ודיאגרמת ניקוויסט : Step Response 1 0-1 - -3 0 000 4000 6000 8000 10000 1000 14000 16000 Tie (sec) איור 4.9 דיאגרמת נייקוויסט של מערכת המנוע עם השהייה. 39

Cs () איור - 4.10 דיאגרמת ניקוויסט של מערכת המנוע עם השהייה של 1. שניות נדגים את פעולתו של חזאי סמית' על מערכת החיבור הגמיש. נבחר את G(s) להיות המודל של המערכת עם הפרמטרים שמצאנו ב ].3[. אותו בקר שקיבלנו ב- ]3.1[ נקבל את המערכת הבאה: הבקר הוא C(s) e hs G(s) e hs איור 4.11 סכמת המערכת במעבדה עם חזאי סמית'. 41

להלן תוצאות ההרצה עבור המערכת הנ"ל עבור h=1sec וכניסת מדרגה: איור 4.1 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם חזאי סמית' קלאסי. כפי שניתן לראות זמן ההתייצבות ארוך מדי ושגיאת המצב המתמיד גדולה מהסף שהגדרנו ובפרט התגובה שמתקבלת אינה דומה לתגובה שהתקבלה ללא ההשהיה. עובדה זאת נובעת, כפי שנכתב לעיל, מהעובדה שיש שוני בין המודל התיאורטי. H( s) H( s) e hs )()G( למודל האמתי ולכן לא ניתן לקבל s אנו ננסה לשפר תוצאות אלו על ידי תכנון בקר חדש המבוסס על העקרונות של בקר סמית', אך מתוכנן כך שיהיה עמיד יותר לשוני בין המערכות, odified_sith_predictor ואופן תכנונו מתואר ב] [,]1 [ ו] 3 [. בקר זה קרוי בספרות 41

Modified Sith predictor.5 5.1 תכנון הבקר סכמת הבקר אותו נציע כפתרון לבעיית ההשהיה במערכת הזרוע הגמיש מוצגת באיור ]5.1[: איור 5.1 סכמת המערכת כוללת.odified sith predictor s) P( s) P ( s) e hs כאשר P () הוא המודל התיאורטי של המערכת כלומר במצב כך ש- s. P ( ) ( ) האידיאלי s P s סכמה זו נועדה לפתור את בעיית היציבות המערכת)בנוסף לעובדה שהמערכת עצמה לא יציבה(. נשים לב שעבור (s )P (s P ( מתקבל בקר סמית' קלאסי שעלולה להתעורר בעקבות אי דיוק במידול כלומר s) P ( s) P ( s) e hs כמו באיור ]4.3[. עבור מערכת שאינה יציבה בחוג פתוח )כלומר בעלת קטבים בחצי המישור הימני ו/או בראשית( יש לבחור את הבלוק כאשר Ps () P הבחירה של כך של- s). "Modified Sith גם כ-" predictor ( sידוע P יציבה P יציבה. להלן שלבי החישוב של אין קטבים בחצי המישור הימני או בראשית. יכולה להיות כל פונקציית תמסורת רציונלית. עבור מערכת P שאינה יציבה, פחות טריוויאלית אך עדיין ניתן למצוא P : P משוואות המצב של המערכת ללא השהייה הן: כזו כך שהמערכת הכוללת תהיה x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t). 1 P s C si A B לכן מתקבל ) ( ) ( 4

C sh sh Pe sh CPe () 1 CPe T s C sh sh 1 CPe C sh 1C CPe 1 Pe 1 C sh sh CPe CPe sh sh sh 1 C( P P e ) CPe 1 CP Ce ( P P ) כעת התמסורת מהכניסה ליציאה היא: P () כאן נבחר את s להיות המודל התיאורטי עם הפרמטרים הנתונים מהיצרן)כפי שהתקבל ב ]1.3[( מכיוון שכפי שהוצג לעיל, בגרף,.8 עבור כניסת מדרגה, ניתן לראות שמודל זה מקרב את P p p 1, 3 4-15.557 30.8746i 1.6855 0 יציאת מערכת המעבדה טוב יותר מהמודל שהוצג ב].3 [. P () נשים לב שעבור המערכת הנ"ל הקטבים של s הינם: מכיוון שהמערכת לא יציבה נבחראת() Ps 1 Ah P( s) C( si A) בצורה הבאה: e B כפי שהוצע ב] 1 [ ונבדוק האם רשת s) אכן יציבה: נשתמש במשוואות 1.1 ו 1.3 ונחשב עבור השהייה :h=1sec Ah 1 1 e ( h 1) L {( si A) } 1 3606675855.03577-8651017.514681-16671368.995 0-1757463333.7943 138051715.39043 81463571.000338 0-7805159481.5634 61055119.6615 3606675855.03574 0 3805858755.664-987580514.443-1757463333. 794 P() s C( si A) e 1 A 58354791.5333 s( s 31.16s1196) B s( s1.68)( s 31.1s1196) s Ah 1 ( si A) h s) P( s) P ( s) e Ce ( si A) ( I e ) B 0 h Ce A( h) Be s d כעת נבדוק האם רשת s) יציבה. s 58354791.5333 s( s 31.16s 1196) 4880e ss ( 1.68)( s 31. 1s1196) מכאן ניתן לראות שכאשר s 0 הבלוק s) מתבדר, כלומר המערכת הכללית לא תהיה יציבה מכיוון שהקוטב בראשית לא מתבטל כפי שנדרש. דבר זה נגרם כתוצאה מקשיים שיש למטלב בחישוב אקספוננט בחזקה גבוהה. קשיים אלו גורמים לאי דיוקים גדולים ולכן הקוטב הלא יציב אינו מתבטל כפי שהוא אמור.. 1 ha P( s) C( si A) מכיוון שבחירה זו לא הניבה את המבוקש נבדוק את הבחירה הבאה e B 43

ו) 1 A P( s) C( si A) e B נחשב את P עבור 1=h כלומר נקבל 1.865( s 1.68)( s 31.1s 1196) 1.865 s( s 1.68)( s 31.1s 1196) s 1 A ( ) ( ) 5.1 P s C si A e B s s) P( s) P( s) e s 1.865( s 1.68)( s 31.1s 1196) 4880e ss ( 1.68)( s 31.1s1196) s 1. 865( s 1.68)( s 31.1s 1196) 4880e 0 3484.14448 4880 li s) li s0 s0 s( s 1.68)( s 31.1s 1196) 0 lopital 590 כלומר הגבול קיים וסופי ולכן הבחירה הנ"ל ל P היא בחירה טובה. ניתן לראות שבפתרון משוואה ]5.1[ צומצם קוטב בראשית )לא יציב(. ב] [ הוצעה דרך למימוש הבקר כך שתיפתר הבעיה של צמצום קוטב לא יציב. מכיוון שבמערכת שבה אנו עוסקים הקוטב הלא יציב הוא " בסה"כ " קוטב בראשית בעיה זו לא מורגשת. למרות זאת, בסוף הפרק נבחן את המימוש שהוצע ב] [ ומומש ב] 3 [ ונשווה למימוש הישיר. P השלב הבא הוא תכנון הבקר C כך שייצב את המערכת לא את המערכת P כמו בבקר סמית' הרגיל(. נבצע את תכן הבקר הנ"ל על מערכת החיבור הגמיש: קיבלנו ש P הוא אינטגרטור לכן עפ"י האמור לעיל מספיק לבחור C k על מנת לייצב את P ובכך לייצב את המערכת הכוללת. להלן התוצאות שהתקבלו עבור C 1 וכניסת מדרגה: איור 5. תגובה למדרגה של מערכת המעבדה עם odified sith predictor ובקר 1=k. 44

כפי שניתן לראות היציאה יציבה אך קטנה מ- 1rad במצב המתמיד ולכן נוסיף רשת תיקון מחוץ לבלוק () Cs כדלקמן: איור 5.3 סכמת בקרה סופית רשת תיקון זו נועדה לפצות על ההבדלים בין המודל לבין המערכת האמיתית. נבחר את H() s עבור בקר הגבר בלבד נקבל: ע"י תהליך של ניסוי וטעייה : איור 5.4 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת הגבר חיצונית. 45

ניתן לראות שהיציאה במצב המתמיד נמוכה מדי ולכן נוסיף רשת תיקון: איור 5.5 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת פיגור חיצונית. כאן קיבלנו overshoot גדול מדי ולכן נקטין את היחס בין הקוטב לאפס. איור 5.6 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת הגבר חיצונית)יחס אפס-קוטב קטן יותר(. ניתן לראות שה overshoot ירד אך זמן ההתייצבות ארוך מדיי ושגיאת המצב המתמיד עדיין גדולה מהרצוי, לכן נקטין יותר את היחס בין הקוטב לאפס. 46

s 1 ]5.[ Hs ( ) 1.45 ונקבל: s 0.8 H() לבסוף נבחר את s להיות איור 5.7 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה עם Modified sith predictor ורשת פיגור חיצונית - סופי. מהגרף ניתן לראות שזמן ההתייצבות הוא 1.144 כלומר אנו עומדים בדרישות הביצועים ולכן זוהי המערכת הסופית. 5. מימוש מעשי עבור סכימת שניות ושגיאת המצב המתמיד הינה 0.07%, כעת נבחן מימוש לרשת אשר מתמודד עם בעיית צמצום הקוטב הלא יציב. נשתמש במימוש אשר הוצע ב] 3 [ ויושם ע"י פונקציית מטלב המצורפת בנספח 3 המבוססת על המימוש ב] [. המימוש מתבסס על של שיטת. (LDA) Luped-delay approxiation קירוב אינטגרל על ידי סכום רימן. כלומר על ידי חלוקת הקטע [0, h] 0 h h מקבלים: h Ce Be d Ce Be i h A(1 ) h si A( h) s i i0 כאשר את ואת i יש לבחור בצורה מתאימה כך שתתקבל מערכת יציבה. שהקירוב הנ"ל יהיה strictly )ועל proper ידי כך יציב( הוצע ב] 3 [ השינוי הבא: ראשית, נציג את בלוק בצורה הבאה: הרעיון בשיטה זו הוא בצורה אחידה למקטעים כדי להבטיח 47

1 sh ( s) (( s 1)( P( s) P ( s) e ) s 1 1 s 1 h Ah sh A( h) s ( Ce B CBe C( I A) e Be d) [5.3] 0 את החלק המבטא את ההשהיה ב] 5.3 [ )האינטגרל( ניתן לקרב לפי סכום רימן ולכן מתקבל: i h 1 A(1 ) h si Ah sh h ( s) ( Ce B CBe ic( I A) e Be ) s 1 1 s 1 i0 h si ie i0 i כאשר המטריצות מוגדרות כך: i 1 6 h Ah C( i ( I A) I) e B if i 0 h i C( i( I A) I) B if i i h A(1 ) h i C ( I A ) e B otherwise עבור השהייה של שנייה אחת את נבחר להיות )עפ"י כיוונון ידני( ואת ונקרב לעשרה בלוקי סכום)כלומר ו 0 i 0,..., עבור 1 i 1 נבחר להיות כעת הבלוק.) 9 הוא מהצורה המופיעה באיור 5.7: איור 5.8 בלוק ממומש בסכומים. כמו כן נשתמש בסכמה של המערכת הכוללת כפי שהוצגה באיור 5. s 1 כאשר Cו- 0.85 H 1.61 s 0.8 ועם בלוק ה המקורב. 48

נציג את התגובה למדרגה כעת: איור 5.9 תגובה למדרגה של המערכת במעבדה כאשר בלוק ממומש כסכומים. ניתן לראות ששגיאת המצב המתמיד וזמן ההתייצבות לא השתנו באופן משמעותי ולכן משיקולים של פשטות מימוש נעדיף את המימוש הראשון. 49

סיכום ומסקנות בפרויקט זה הוצגה ונבחנה שיטה לזיהוי פרמטרים של מנוע. כמו כן, הוצגה ונבחנה שיטה לבקרת מערכת לא יציבה עם השהייה בחוג סגור. השיטה לזיהוי פרמטרי המנוע בה השתמשנו היתה קבלת תגובת התדר של המערכת מתוך מדידות המוצא עבור כניסות סינוסואידליות בתדירויות שונות. ראינו ששיטה זו יעילה מאוד כשברצוננו למדל מערכת שנקודת העבודה שלה היא עבור כניסות AC ללא רכיב DC או עבור מערכות חסרות חיכוך ויסקוזי. לעומת זאת השיטה הנ"ל לא מניבה מידול מדויק כשמדובר בכניסות מדרגה במערכות שבהן החיכוך הויסקוזי מורגש. בנוסף לאמור לעיל, קיים קושי למדל את המערכת הספציפית בה השתמשנו. )נספח 5( המערכת אינה אמינה )קרסה הרבה פעמים ונתנה תוצאות שונות עבור כניסות זהות, שוני שלעיתים היה משמעותי(. תחום התדרים בהן המערכת עובדת מוגבל מאוד. רעש רב נלווה למדידות. השיטה שלפיה בנינו את הבקר למערכת, המכונה,odified sith predictor מבוססת על חזאי סמית' הקלאסי עם שינויים שנועדו להבטיח את ביטול השפעתם של הקטבים הלא יציבים. ראינו שגם בשיטה זו קיימות מספר אפשרויות מימוש אך המשותף לכולן הוא ביטול השפעת הקטבים הלא יציבים בחוג הבקרה הפנימי. עבור המערכת שלנו, מימוש הבקר בצורה ישירה לפי הקוטב הלא יציב בראשית לא הייתה השפעה שלילית. ]1[ הניב תוצאות טובות ולביטול לעומת זאת, במערכות עם קטבים לא יציבים בעלי ערך ממשי חיובי ממש, המימוש הישיר של חוג הבקרה הפנימי עלול לגרום ליציאות לא רצויות ויש לממש אותו על פי ]3[. כמו כן, במקרה שהמידול של המערכת לא מדויק מספיק הראנו כי ניתן לשפר את התוצאות המתקבלות בשימוש ב - predictor Modified Sith בלבד ע"י הוספת רשת תיקון בחוג הבקרה. המערכת הסופית השיגה ביצועים טובים של שגיאת מצב מתמיד אפסית וזמן התייצבות הקטן משנייה וחצי, אף שייתכן וניתן להגיע לביצועים טובים יותר על ידי מידול החיכוך במערכת או שימוש בשיטות בקרה שונות )למשל בשיטה המופיעה ב] [(. הבקר שהתקבל היה עמיד לרעש מתמשך ומשתנה במוצא להתבדרות המערכת( ועמיד אף יותר לרעש מסוג של "הלם חלש" במוצא. )במובן שהרעש לא גרם 51

נספחים נספח 1 לגראנז'יאן הלגראנז'יאן אינו מכמת ערך פיזיקלי כלשהו, אלא מהווה תיאור מתמטי של המערכת. הפשוטה ביותר למצוא לגראנז'יאן של מערכת פיזיקלית היא בעזרת אנרגיה קינטית הדרך T ואנרגיה של המערכת: t) L( q, q, t) T( q, q, t) V( q, q, q ו ( q1, q,..., q n ) פוטנציאלית V q היא קבוצת מוכללות(. קואורדינאטות מוכללות הן נגזרותיהן לפי הזמן )מהירויות את משוואות התנועה מקבלים מתוך הלגראנז'יאן באמצעות משוואת אוילר-לגראנז': d L L dt q q 51

נספח - בחינת הבקר בתנאים לא אופטימליים נבדוק את חסינות הבקר להפרעת רוח על המוט הגמיש)על ידי שימוש במייבש שיער(. להלן התוצאות: איור 06.1 תגובת המערכת לרעש "רוח". נבדוק את חסינות הבקר להפרעת הלם על המוט הגמיש)על ידי מכות לקנה(: איור - 6. תגובת הבקר להפרעות הלם. ניתן לראות שבשני המקרים הרעש במוצא לא גרם להתבדרות המערכת)למרות שבמקרה הראשון מדובר ברעש מתמשך ולא בהלם קצר כמו במקרה השני(. 5

כעת נבדוק תנאי התחלה שונים מאפס. נכניס מדרגה בגובה 1 ולאחר 3 שניות נכניס מדרגה בגובה חצי ונבדוק עמידות הבקר. להלן התוצאות: איור 6.3 תגובת הבקר לתנאי התחלה שונים מאפס. 53

נספח 3 פונקצייה למימוש בלוק ע"י קירוב סכומים באמצעות מטלב D0 הפונקציה שרוצים לקרב h זמן ההשהיה tau הקוטב הממשי הקטן במערכת )לא בהכרח( n מספר רכיבי הסכום למימוש bdn השם של הבלוק function [Kvec] = AFBPsna_(D0,h,tau,n,bdn) D0=ss(D0); A=D0.a; B=D0.b; C=D0.c; =size(c,1); Cn=C*(eye(length(A))+tau*A); Kvec(1:,1)=-tau*C*B+h/n/*Cn*B; Kvec(1:,n+1)=tau*C*exp(A*h)*B+h/n/*Cn*exp(A*h)*B; for i=1:n-1; Kvec(1:,i+1)=h/n*Cn*exp(A*h*i/n)*B; end vv=version; if vv(1)=='6' && vv(3)=='1' pt1='siulink3'; pt='siulink3/math'; else pt1='siulink'; pt='siulink/math Operations'; end Nae1='BlockPai'; str1=[bdn,'/',nae1]; add_block('built-in/subsyste',str1); add_block([pt1, '/Sources/In1'],[str1,'/in']); add_block([pt1,'/continuous/transport Delay'],[str1,'/del0'],'DelayTie','h/n'); add_block('built-in/gain',[str1, '/Gain0'],'Gain', ['Kvec(:,',nustr(n+1),')']); add_block([pt,'/su'], [str1,'/su0']); add_block([pt1,'/continuous/transfer Fcn'],[str1,'/LPF'],'Nuerator','[1]', 'Denoinator','[tau 1]'); add_line(str1,'in/1','lpf/1'); add_line(str1,'lpf/1','del0/1'); add_line(str1,'lpf/1','gain0/1'); add_line(str1,'gain0/1','su0/1'); for i=1:n-1; add_block([pt1,'/continuous/transport Delay'],[str1,'/del',nustr(i)],'DelayTie',['h/n']); add_block('built-in/gain', [str1,'/gain', nustr(i)],... 'Gain',['Kvec(:,',nustr(n-i+1),')']); add_block([pt,'/su'], [str1, '/su', nustr(i)]); add_line(str1,['del',nustr(i- 1),'/1'],['del',nustr(i),'/1']); add_line(str1,['del',nustr(i- 1),'/1'],['Gain',nustr(i),'/1']); add_line(str1,['gain',nustr(i),'/1'],['su', nustr(i- 1),'/']); add_line(str1,['su',nustr(i-1),'/1'],['su',nustr(i),'/1']); end add_block('built-in/gain', [str1, '/Gain', nustr(n)],'gain', ['Kvec(:,1)']); add_block([pt1,'/sinks/out1'], [str1,'/out']); add_line(str1, ['del', nustr(n-1),'/1'],['gain',nustr(n),'/1']); add_line(str1, ['Gain', nustr(n),'/1'],['su',nustr(n-1), '/']); add_line(str1, ['su', nustr(n-1),'/1'],'out/1'); 54

נספח - 4 פרמטרים של המערכת 55

נספח 5 אי אמינות המערכת יציאות שונות עבור כניסות זהות: רעש במוצא: 56

רשימת מקורות 1. Mirkin L. and Z.J.Palor (005) "Control issues in syste with loop delays," in Handbook of Networked and Ebedded Control Systes (D.Hristu- Varsakelis and W.S Levine, eds.) pp.67-648. L. Mirkin. "On the approxiation of distributed-delay control laws. Syst. Control Lett".,55(5):331 34, 004. 3. Gudin Roan (007),"Robust Control Using Dead-Tie Copensators". 4. Z.J.Palor (1996) "Tie delay copensation - Sith Predictor and its odifications", in the Control Handbook (W.S.Levine,ed.), CRC Perss, Boca Raton, pp. 4-37. 5. K. Warwick and D. Rees, Industrial Digital Control Systes, IET, 1988.pp.100-105. 6. Theodore P. Pavlic,Rotary Electrodynaics of a DC Motor: Motor as Mechanical Capacitor, Lab : Modeling and Syste Identification, ECE 758: Control Syste Ipleentation Laboratory, http://www.ece.ohio-state.edu/~passino/lab_rotary_dynaics.pdf. 7. Naresh Kuar Sinha B, Kuszta (1983),Modeling and identification of dynaic systes,pp..6-.10. 57